Soit E un module sur un anneau commutatif unitaire A. On appelle tenseur p fois contravariant et q fois covariant sur E tout élément du produit tensoriel i = 1 p E j = 1 q E {\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{p}E\otimes \bigotimes _{j=1}^{q}E^{*}} , où E {\displaystyle E^{*}} est le module dual de E.

Soit u un automorphisme du A-module E, t u {\displaystyle {}^{t}u} est le morphisme contragrédient de E {\displaystyle E^{*}} , c'est-à-dire l'automorphisme défini par t u ( φ ) = φ u {\displaystyle {}^{t}u(\varphi )=\varphi \circ u} . On peut définir une action du groupe linéaire GL(E) sur i = 1 p E j = 1 q E {\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{p}E\otimes \bigotimes _{j=1}^{q}E^{*}} par :

u x = ( u u t u t u ) ( x ) p q {\displaystyle {\begin{matrix}u\cdot x=&\underbrace {(u\otimes \cdots \otimes u} &\otimes &\underbrace {{}^{t}u\otimes \cdots \otimes {}^{t}u)} (x)\\&p&&q\end{matrix}}}

On appelle espace tensoriel sur E tout sous-module H de i = 1 p E j = 1 q E {\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{p}E\otimes \bigotimes _{j=1}^{q}E^{*}} stable par la loi externe ( u , x ) u x {\displaystyle (u,x)\mapsto u\cdot x} .

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